Question

已知函数f（x）=lnx+ax2+x．（1）若f（x）在（0，+∞）是增函数，求a的取值范围；（2）已知a＜0，对于函

已知函数f（x）=lnx+ax2+x．（1）若f（x）在（0，+∞）是增函数，求a的取值范围；（2）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），A1（x1，y1），B1（x2，y2），若A1B1＝λA1N(1≤λ≤2)，求证：f′（u）＜k．

Answer 1

解答：（1）解：求导函数可得：f′(x)＝

2ax2+x+1

x

（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f′(x)＝

2ax2+x+1

x

＞0
∴2ax²+x+1＞0
∴2a＞?

1

x

?(

1

x

)2
∵x＞0，∴?

1

x

?(

1

x

)2＜0
∴a≥0；
（2）证明：∵A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），∴k=

y2?y1

x2?x1

=

lnx2?lnx1

x2?x1

+a(x2+x1)+1
∵N（u，0），

A1B1

＝λ

A1N

(1≤λ≤2)
∴x₂-x₁=λ（u-x₁）
∴u＝

x2+(λ?1)x1

λ

∴f′（u）=

λ

x2+(λ?1)x1

+2a×

x2+(λ?1)x1

λ

+1
∴f′（u）-k=

λ

x2+(λ?1)x1

?

lnx2?lnx1

x2?x1

+

a

λ

(2?λ)(x2?x1)
∵a＜0，x₂＞x₁，1≤λ≤2
∴

a

λ

(2?λ)(x2?x1)≤0
∴要证f′（u）＜k，只要证

λ

x2+(λ?1)x1

?

lnx2?lnx1

x2?x1

＜0
即

λ(x2?x1)

x2+(λ?1)x1

?ln

x2

x1

＜0
设

x2

x1

＝t，则

λ(x2?x1)

x2+(λ?1)x1

?ln

x2

x1

=

λ(t?1)

t+(λ?1)

?lnt，显然t＞1
令g（t）=

λ(t?1)

t+(λ?1)

?lnt，则g′（t）=

?t2+(λ2?2λ+2)t?(λ?1)2

t(t+λ?1)2

记T（t）=-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²，对称轴为t=

(λ?1)2+1

2

∵1≤λ≤2，

1

2

≤

(λ?1)2+1

2

≤1
∴函数在（1，+∞）上单调递减，
∵T（1）=0，∴，t＞1时，T（t）＜0恒成立
即-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²＜0恒成立
∵t（t+λ-1）²＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．