Question

已知函数f（x）=ax-e x （a＞0）．（Ⅰ）当 a= 1 2 时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当1≤a

已知函数f（x）=ax-e x （a＞0）．（Ⅰ）当 a= 1 2 时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．

Answer 1

（Ⅰ）当 a= 1 2 时， f(x)= 1 2 x- e x ，令f′（x）= 1 2 -e x =0，x=-ln2 当x＜-ln2时，f′（x）＞0；当x＞-ln2时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-ln2），递减区间为（-ln2，+∞）． （Ⅱ）证明：令F（x）=x-f（x）=e x -（a-1）x， （1）当a=1时，F（x）=e x ＞0，∴f（x）≤x成立；  （2）当1＜a≤1+e时，F′（x）=e x -（a-1）=e x -e ln（a-1） ， 当x＜ln（a-1）时，F′（x）＜0；当x＞ln（a-1）时，F′（x）＞0， ∴F（x）在（-∞，ln（a-1））上递减，在（ln（a-1），+∞）上递增， ∴F（x）≥F（ln（a-1））=e ln（a-1） -（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]， ∵1＜a≤1+e，∴a-1＞0，1-ln（a-1）≥1-ln[（1+e）-1]=0， ∴F（x）≥0，即f（x）≤x成立． 综上，当1≤a≤1+e时，有f（x）≤x．