Question

已知双曲线C的方程为x 2 - y 2 4 =1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）

已知双曲线C的方程为x 2 - y 2 4 =1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足 AP =λ? PB （其中λ∈[ 1 2 ，3]）．（1）用λ的解析式表示mn；（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．

Answer 1

（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，-2n），设P（x，y） 由 AP =λ? PB ，得 x= m+λn 1+λ y= 2m-2λn 1+λ ，故P点的坐标为（ m+λn 1+λ ， 2(m-λn) 1+λ ），…（3分） 将P点的坐标代入x 2 - y 2 4 =1，化简得，mn= (1+λ) 2 4λ ．…（3分） （2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ= 4 5 ．…（1分） 又|OA|= 5 m ，|OB|= 5 n ， 所以S △AOB = 1 2 |OA||OB|sin2θ=2mn= 1 2 ? (1+λ) 2 λ = 1 2 (λ+ 1 λ )+1 ，…（3分） 记S（λ）= 1 2 (λ+ 1 λ )+1 ，λ∈[ 1 2 ，3]）． 则S（λ）在λ∈[ 1 2 ，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．…（2分） 所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值 8 3 ． 所以△AOB面积的取值范围是[2， 8 3 ]．…（2分）