Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y．（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；（2）连接CN，当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时，求∠ACN的正切值；（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．

Answer 1

（1）y= （0＜x＜6）      （2）tan∠ACN= （3）AN的长为2或

试题分析：（1）解：∵MN∥AO， ∴△BMN∽△BOA， ∴ = ， ∵∠C=90°，AC=BC，AB=6， ∴由勾股定理得：BC=3 ， ∵O是BC边上的中点， ∴BO= ， ∵AN=x，BM=y， ∴ = ， ∴y= （0＜x＜6）； （2）解： ∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切， ∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM， ∴MG=MN， ∴∠MNG=∠G， 又∵∠MNG=∠AND， ∴∠AND=∠G， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠DAN=∠MBG， 又∵AN=BG， ∴△AND≌△BGM， ∴DN=MG=MN， ∵∠ACB=90°， ∴CN=DN， ∴∠ACN=∠D， ∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC边上的中点， ∴tan∠CAO= = ， ∵MN∥AO， ∴∠CAO=∠D， ∴∠CAO=∠ACN， ∴tan∠ACN= ； （3）解：∵∠DAN=∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况： ①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E， tan∠BMG= = ， ∵∠ACB=90°，GE⊥BC， ∴AC∥GE， ∴∠BGE=∠CAB=45°， ∵∠ABC=∠GBE=45°， ∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°， ∴BE=EG， ∴BM=BE， ∴由勾股定理得：y= x， ∵由（1）知：y= ， ∴解得：x=2； ②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F， ∴tan∠G= = ， ∴FG=2MF， ∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠MBF=∠CAB=45°， ∵∠MFB=90°， ∴∠FMB=∠MBF=45°， ∴BF=MF， ∵FG=2MF=BF+BG， ∴BF=BG， ∴x= y， 由（1）知：y= ， ∴解得：x= ； 综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或 ． 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大，分类讨论思想的运用．