Question

设函数f（x）=log a （1-x），g（x）=log a （1+x），（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x）

设函数f（x）=log a （1-x），g（x）=log a （1+x），（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），判断函数F（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若关于x的方程g（m+2x-x 2 ）=f（x）有实数根，求实数m的范围；（Ⅲ）当a＞1时，不等式f（n-x）＞ 1 2 g（x）对任意x∈[0，1]恒成立，求实数n的范围．

Answer 1

（I）要使函数（x）=f（x）-g（x）有意义， 则 1-x＞0 1+x＞0 ，解得-1＜x＜1， 即函数的定义域为（-1，1）关于原点对称． ∵F（x）=f（-x）-g（-x）=log a （1+x）-log a （1-x） =-[f（x）-g（x）]=F（-x）， ∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数； （II）方程g（m+2x-x 2 ）=f（x）有实数根， 即 log a [1+(m+2x- x 2 )]= log a (1-x) 所以1+m+2x-x 2 =1-x，即m=x 2 -3x有实数根， 由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2． ∵m=x 2 -3x= (x- 3 2 ) 2 - 9 4 ，0＜x＜2， ∴ - 9 4 ≤m＜0 ． （Ⅲ）因为f（n-x）=log a （1-n+x）， 1 2 g（x）= 1 2 lo g a (1+x) ， 所以由a＞1且f（n-x）＞ 1 2 g（x） 得 1-n+x＞ 1+x ， 设 t= 1+x ，则1 ≤t≤ 2 ， 所以不等式等价为t 2 -n＞t， 即n＜t 2 -t， 设g（t）=t 2 -t，则 g(t)=(t- 1 2 ) 2 - 1 4 ， 所以当t=1，即x=0时，g（t）有最小值0． 所以n＜0．