Question

如图，已知，在空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABC；（2）若AB=

如图，已知，在空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABC；（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4，求几何体ABCD的体积；（3）若G为△ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E为AB的中点
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，
∴CD⊥BD，
在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，
∴CD⊥AD，
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD．所以线段CD的长
是三棱锥C-ABD的高
又在△ADB中，DE=

16? 9 4

＝

55

2

∴V_C-ABD=

1

3

?

1

2

?3?

55

2

?3＝

3 55

4

（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE
取DC的中点H，连AH、EH
∵G为△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE