Question

已知△ABC的三边分别为a，b，c，面积S=（a-b+c）（a+b-c），b+c=8，则S的最大值为______

已知△ABC的三边分别为a，b，c，面积S=（a-b+c）（a+b-c），b+c=8，则S的最大值为______．

Answer 1

∵S=

1

2

bcsinA，cosA=

b2+c2?a2

2bc

，
∴S=（a-b+c）（a+b-c）=a²-（b-c）²=a²-b²+2bc-c²=-（b²+c²-a²）+2bc=-2bccosA+2bc=2bc（1-cosA）=

1

2

bcsinA，
整理得：2（1-cosA）=

1

2

sinA，即2（1-1+2sin²

A

2

）=4sin²

A

2

=sin

A

2

cos

A

2

，
整理得：tan

A

2

=

1

4

，
∴sinA=

2tan A 2

1+tan2 A 2

=

2× 1 4

1+( 1 4 )2

=

8

17

，
∵ab≤（

a+b

2

）²，a+b=8，
∴ab≤16，
则S_max=

1

2

×16×

8

17

=

64

17

．
故答案为：

64

17