Question

函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数y＝12ax2+1(a＞0)的导函数为g（x），记h（x）=f（x）+g

函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数y＝12ax2+1(a＞0)的导函数为g（x），记h（x）=f（x）+g（x）．（1）设曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线为l，l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）求函数h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）由题意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴h′(x)＝a+

1

x?2

，过（1，h（1））点的直线的斜率为a-1，
∴过（1，h（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圆心为（-1，0），半径为1，
由题意得

|1?a+1|

(a?1)2+1

＝1，解得a=1．
（2）h′(x)＝

ax?2a+1

x?2

＝a[x?(2?

1

a

)]?

1

x?2

，x∈(?∞，2)．
∵a＞0，∴2?

1

a

＜2．
令h′（x）＞0，∴x＜2?

1

a

；
令h′（x）＜0，∴2?

1

a

＜x＜2，
所以，(?∞，2?

1

a

)是h（x）的增区间，(2?

1

a

，2)是h（x）的减区间．
（3）①当2?

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

时，h（x）在[0，1]上是减函数，
∴h（x）的最大值为h（0）=ln2．
②当0＜2?

1

a

＜ 1，即

1

2

＜a＜ 1时，，h（x）在(0，2?

1

a

)上是增函数，在(2?

1

a

，1)上是减函数，
∴当x＝2?

1

a

时，h（x）的最大值为h(2?

1

a

)＝2a?1?lna．
③当2?

1

a

≥1，即a≥1时，h（x）在[0，1]上是增函数，
∴h（x）的最大值为h（1）=a．
综上，当0＜a≤

1

2

时，h（x）的最大值为ln2；
当

1

2

＜a＜1时，h（x）的最大值为2a-1-lna；
当a≥1时，h（x）的最大值为a．