Question

证明：不接地导体空腔内外均有电荷时，外电荷不影响内电场

Answer 1

　　根据高斯定理

　　即通过高斯面的磁通量等于高斯面所包含电荷量与常数ε0的比值，

　　取导体空腔内部为高斯面，其包含电荷量是0（里面根本没有电荷），所以等式左边也应该是0，所以空腔内部没有电场，即不会受到外部电荷的影响；

　　再取整个导体外部为高斯面，总电荷量等于该导体的带电总量，根据取不同位置的高斯面，就能算出那些位置的磁通量，如果导体比较对称（比如说球），还能很容易地算出各个位置的电场强度。

Answer 2

根据高斯定理

，

即通过高斯面的磁通量等于高斯面所包含电荷量与常数ε0的比值，

取导体空腔内部为高斯面，其包含电荷量是0（里面根本没有电荷），所以等式左边也应该是0，所以空腔内部没有电场，即不会受到外部电荷的影响；

再取整个导体外部为高斯面，总电荷量等于该导体的带电总量，根据取不同位置的高斯面，就能算出那些位置的磁通量，如果导体比较对称（比如说球），还能很容易地算出各个位置的电场强度。

追问

电荷位于空腔内表面以内

追答

首先，我更正一个笔误，之前说的高斯定理是指通过高斯面的电通量等于高斯面所包含电荷量与常数ε0的比值；
其次，空腔内表面以内没有电荷，取空腔内部为高斯面，所以该高斯面的电通量也应该是0，即没有电场；
由于导体的电荷都分布在导体的外表面，所以都在空腔内高斯面以外，外面电荷的变化不会影响到高斯面里。

追问

设E1,2,3,4分别为空腔内表面以内、内表面、外表面和空腔外电荷在空间产生的电场。
那么∫EdS=∫E4dS+∫E3dS+∫E2dS+∫E1dS=0+0+0+∫E1dS=q/ε0(封闭曲面为空腔内表面以内的球面)，只能说明∫E1dS=q/ε0,∫E4dS=0,并不能说明E4在S面上为0啊?

追答

首先，如果电荷q在空腔内的话，电通量Φ1=Φ2=∮E1ds=∮E2ds=q/ε0；
若外表面电荷为Q，则Φ3=Φ4=∮E3ds=∮E4ds=(Q+q)/ε0；
由此可见，不论外部电荷Q如何变化，都不会影响到内表面高斯面的电通量，因为该电通量仅由内部电荷q决定，内部电通量始终为q/ε0；
至于外部空间，高斯面的电通量Φ4就会随着外表面电荷Q的变化而变化了，如上文所言，Φ4=(Q+q)/ε0。
还有一点，就是外部的电荷无法影响到内部高斯面的电通量，高斯面的电通量仅由内部电荷所产生的电场决定，这是高斯定理的基础定义。

追问

外部电荷Q是不影响内表面高斯面电通量。这只能说明∫E4dS=0并不能说明外部电荷在高斯面上的电场强度为0啊？

追答

这是根据高斯定理的推导思路：先确定高斯面，再确定高斯面所包含的电荷量，内部电荷在该高斯面上产生的电通量已经确定，
接下来是我的理解：
电通量是恒定的，但是高斯面上局部电场强度确实会发生变化，这个电场强度由于高斯面及电荷分布不完美对称不容易计算，但是无论怎样变化，电通量都是恒定的。

追问

Q不影响电通量或者说电通量是恒定如何说明Q不影响内电场????

当没有内电荷时，Q在外表面产生感应电荷，为什么Q和外表面感应电荷在空腔内表面以内的和场强为0？用∫EdS只能说明电通量为0不能说明E=0吧，EdS是数量积啊

追答

之前未能解答您的问题我深表歉意，接下来我做一个总结：
如果没有空腔导体，仅是两个点电荷的模型的话，取其中一个周围为高斯面，另一个电荷的变化确实会影响到高斯面上局部电场强度的大小，高斯面上不同位置的电场强度会有所调整来保证磁通量不变。
考虑到空腔导体模型，电荷只会分布在导体的表面上，如果没有空腔内的电荷q的话，所有电荷Q会分布在该导体的外表面上，但是空腔内的电荷q会在导体内表面上产生感应电荷，使导体内表面带电量为-q，于是由于电荷守恒，该导体外表面的带电量就变成了Q+q。
所以，无论空腔导体带电量Q如何变化，在该导体内表面产生的感应电荷只与空腔内电荷q有关，大小相同符号相反。故Φ1=q/ε0不变，Φ2=(q-q)/ε0=0也不变，然而导体内外表面之间没有电场，这一点毋庸置疑，所以外表面电荷如何变化，都不会影响到里面。
外面的电通量Φ3=Φ4=(Q+q)/ε0，会随着外面的Q变化而变化。
核心：导体非空腔部分没有电场，电荷只会分布在导体的表面上。

追问

1. Q不影响内表面感应电荷

2. 内外表面间及内表面以内电通为0

3. 内外表面间没电场，没电荷。

所以Q不影响内电场。  

抱歉，我还是不懂，我感觉3个前提并不能推导出结论啊？？

追答

内表面以内电通量为q/ε0，两个表面之间没有电通量，内表面电荷量为-q；

首先，取以内电荷为球心周围较小球体为高斯面，由于无其他电场影响，视其为完全对称，用高斯定理求得r处场强E=q/4πrε0；再取导体内表面为高斯面，由于内表面感应电荷，高斯面所包含电荷量为0，即内表面上任意一点电场强度为0；
给予该导体Q的电荷，此时Q分布在导体外表面上，仍取导体内表面为高斯面，该高斯面所包含电荷量仍为0，即各处场强均为0，未发生变化；再取以内部电荷为球心的小球为高斯面，r处场强仍为E=q/4πrε0；
再次给予导体Q'电荷，Q'亦分布在导体外表面上，取导体内部为高斯面，所包围电荷量为0，各处场强均为0未变；再次取以内部电荷为球心的小球为高斯面，r处场强仍为E=q/4πrε0，亦未发生变化。
故不接地导体空腔内外均有电荷时，外电荷不影响内电场。

追问

你说的由于无其他电场影响是要推导的结论吧？在此你把他当做前提了。

另外∫EdS=q/ε0 ，当E垂直于S面且E在S面上处处相等时，E=q/4πr^2ε0

现在外电荷和外表面感应电荷和内表面感应电荷均在高斯面上叠加场强。此时E垂直于S面且E在S面上处处相等吗？？？？？？？？、

追答

内球壳高斯面上电场强度处处为零，
球壳内以点电荷为球心周围极短半径为球体取高斯面，该高斯面上电场线垂直且处处相等。

Answer 3

净电荷因互相排斥而重新分布，分布的结果是各自占据最大的表面积，因此静电平衡时，净电荷只分布在导体的外表面，导体内部（包括空腔内）没有净电荷。这是一个普遍适用的结论，也是静电平衡的基本特征之一。
因此，不接地的导体若带有净电荷，达到静电平衡时，空腔内部不存在净电荷，导体内部的场强处处为零，因此你所说的“空腔内外均有（净）电荷”指的是，在空腔导体内部放置一个电荷量为q的电荷，q与内表面不接触，则该电荷在自己周围空间——空腔内部当然会产生静电场E1，设空腔外部的电荷为Q，我们来证明，Q产生的电场不会影响内电场——电荷q产生的电场。

高斯定理：在空腔内，作一个包围场源电荷q的高斯面，按照高斯定理，其场强为E1=q/4πεr，所做的高斯面内没有包含Q，这就表明了，Q产生的电场不能影响内部电场。

顺便指出，空腔导体外部的电场，有内部电荷q的贡献，所以外电场的场源电荷是Q+q(代数和）。

追问

设E1,2,3,4分别为空腔内表面以内、内表面、外表面和空腔外电荷在空间产生的电场。
那么∫EdS=∫E4dS+∫E3dS+∫E2dS+∫E1dS=0+0+0+∫E1dS=q/ε0(封闭曲面为空腔内表面以内的球面)，只能说明∫E1dS=q/ε0,∫E4dS=0,并不能说明E4在S面上为0啊?

Answer 4

楼上的两个答案都没说到关键点啊，关键在于唯一性定理。
内外均有电荷的情形 = 内有电荷 + 外有电荷
只有外有电荷时导体腔内电场强度为零，所以叠加之后内部电厂只取决于导体腔内部的电荷分布。
静电学唯一性定理怎么证明？参见电动力学教材。

Answer 5

严谨证明是使用泊松方程的解的唯一性楼主还在吗，在就叫我

追问

在啊

追答

首先讲，这个问题是在导体壳内部电荷分布和作为等势面的边界已知的情况下的导体内部电场的解是唯一的，单纯利用高斯定律是只能导出一个面上的电通量是恒定的，不可能确定到每一个点。

标准方法是利用高斯定律和静电场环路定理的微分形式导出泊松方程，这是一个偏微分方程，在3种边界条件下它都有唯一解，在静电场中叫做静电学唯一性定理，其中一种情况是在边界上的电势是已知的，叫做狄利克雷问题，它的特殊情况就是你的问题。还可以使用保角映射解决，可以参考复变函数。