Question

将函数ln（1+x-2x2）展开成x的幂级数

将函数ln（1+x-2x2）展开成x的幂级数．

Answer 1

因为ln（1+x-2x²）=ln（1-x）+ln（1+2x），
故只需计算ln（1-x）以及ln（1+2x）的幂级数展开式即可．
在?1≤x＜1中，ln(1?x)＝

∞

n＝1

(?1)n?1

(?x)n

n

＝

∞

n＝1

 

(?1)2n?1

n

xn．
在?1＜2x≤1，即?

1

2

＜x≤

1

2

中，ln(1+2x)＝

∞

n＝1

(?1)n?1

(2x)n

n

．
因为 [?1，1)∩(?

1

2

，

1

2

]＝(?

1

2

，

1

2

]，
所以，ln（1+x-2x²））=ln（1-x）+ln（1+2x）=

∞

n＝1

 

(?1)n?12n?1

n

xn，x∈(?

1

2

，

1

2

]．

Answer 2

　　利用展开式
　　　 ln(1-x) = Σ(n≥1)(x^n)/n，-1≤x<1，

可得
　　　ln(1+x-2x²)
　　= ln(1+2x)+ln(1-x)
　　= Σ(n≥1)[(-1)^(n-1)][(2x)^n]/n + Σ(n≥1)(x^n)/n
　　= Σ(n≥1){[(-1)^(n-1)](2^n)+1}(x^n)/n，-1/2<x≤1/2。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示