已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx, g(x)= lnx x ,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数

已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(2)在(1... 已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx, g(x)= lnx x ,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(2)在(1)的条件下,求证: f(x)>g(x)+ 1 2 ;(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由. 展开
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oceng956
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(1) f (x)=1-
1
x
=
x-1
x

∵x∈(0,e],
f (x)=
x-1
x
>0,得1<x<e,
∴增区间(1,e).
f (x)=
x-1
x
<0,得0<x<1.
∴减区间(0,1).
故减区间(0,1);增区间(1,e).
所以,f(x)极小值=f(1)=1.
(2)由(1)知f(x)=x-lnx在(0,e]上的最小值为f(1)=1,
∵g(x)=
lnx
x

g (x)=
1-lnx
x 2

g (x)=
1-lnx
x 2
>0,
解得0<x≤e,
∴g(x)在 (0,e]上为增函数,
∴g(x) max =g(e)=
1
e

∵1>
1
2
+
1
e

∴f(x)>g(x)+
1
2

(3) f (x)=a-
1
x
=
ax-1
x

①当a≤0时,f(x)在(0,e)上是减函数,
∴ae-1=3,a=
4
e
>0

②当 0<a<
1
e
时,f(x)=
1
e
,f(x)在(0,e]上是减函数,
∴ae-1=3,a=
4
e
1
e

③当 a≥
1
e
时,f(x)在 (0,
1
a
]
上是减函数, (
1
a
,e)
是增函数,
a
1
a
-ln
1
a
=3
,a=e 2
所以存在a=e 2
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