Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB= AC= ×60=30cm。 ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF= CD=2t。∴DF=AE。 （2）能。 ∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形。 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。 ∴当t=10时，AEFD是菱形。 （3）若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC， 则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t= 。 ②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC， 则AE=2AD，即 2t =2×60-4t，解得：t=12。 综上所述，当t= 或12时，△DEF为直角三角形

试题分析：（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明。 （2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值。 （3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论。