Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点。 （1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。





Answer 1

解：（1）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。 ∵AP=AB=2，BC=AD= ，四边形ABCD是矩形 ∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0）， ， ， 又E，F分别是AD，PC的中点 ∴ ∴ ∴ ∴PC⊥BF，PC⊥EF， 又BF∩EF=F， ∴PC⊥平面BEF。
（2）由（1）知平面BEF的法向量 平面BAP的法向量 ∴ 设平面BEF与平面BAP的夹角为θ 则 ∴θ=45° ∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°。