Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+4x-a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）（文）若f（x）=ex-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，求证：若x＞1，则ex＞x2-2mx+1．

Answer 1

f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）+f（-x）=0有解．
（1）当f（x）=ax²+4x-a（a∈R）时，
方程f（x）+f（-x）=0即2a（x²-1）=0有解x=±1，所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t＝2x∈[

1

2

，2]，则?2m＝t+

1

t

．
设g（t）=t+

1

t

，则g'（t）=1-

1

t2

＝

t2?1

t2

，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．       …（7分）
所以t∈[

1

2

，2]时，g（t）∈[2，

5

2

]．
所以?2m∈[2，

5

2

]，即m∈[?

5

4

，?1]．                          …（9分）
（文）f（x）=e^x-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，
f（x）+f（-x）=0可化为m＝

ex+e?x

4

≥

2 exe?x

4

＝

1

2

（x=0时等号成立），即m≥

1

2

．
设g（x）=e^x-x²+2mx-1（x＞1），由g'（x）=e^x-2x+2m≥e^x-2x+1，
显然，由图象知，x＞1时e^x-2x+1＞0成立，所以g'（x）≥e^x-2x+1＞0，
函数g（x）=e^x-x²+2mx-1在（1，+∞）上递增，则g(x)＞g(1)＝e+2m?2≥e+2×

1

2

?2＞0．
即e^x＞x²-2mx+1成立．