(2006?嘉兴)如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设

(2006?嘉兴)如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于... (2006?嘉兴)如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G.(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?(2)求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积.(阴影部分) 展开
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背跳7734
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知道答主
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解:(1)∠BFG=∠BGF;理由如下:
连OD,
∵OD=OF(⊙O的半径),
∴∠ODF=∠OFD;
∵⊙O与AC相切于点D,∴OD⊥AC;
又∵∠C=90°,即GC⊥AC,∴OD∥GC,
∴∠BGF=∠ODF;
又∵∠BFG=∠OFD,
∴∠BFG=∠BGF.

(2)连OE,
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E,
∴DC=CE,OD⊥AC,OE⊥BC,
∵∠C=90°,
∴四边形ODCE为正方形,
∵AO=BO=
1
2
AB=
1
2
AC2+BC2
=3
2

∴OD=
1
2
BC=
1
2
×6=3,
∵∠BFG=∠BGF,
∴BG=BF=OB-OF=3
2
-3;
从而CG=CB+BG=3+3
2

∴S阴影=S△DCG-S正方形ODCE+S扇形ODE
=S△DCG-(S正方形ODCE-S扇形ODE
=
1
2
?3?(3+3
2
)-(32-
1
4
π?32
=
4
+
9
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