Question

设二次型f（x1，x2，x3）=ax12+ax22+（a-1）x32+2x1x3-2x2x3，①求二次型f的矩阵的所有特征值．②若二次

设二次型f（x1，x2，x3）=ax12+ax22+（a-1）x32+2x1x3-2x2x3，①求二次型f的矩阵的所有特征值．②若二次型f（x1，x2，x3）的规范型为y12+y22，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ） 
二次型f的矩阵：A＝

a 0 1 0 a ?1 1 ?1 a?1

，
则A的特征多项式为：

.

λE?A

.

=

.

λ?a 0 ?1 0 λ?a 1 ?1 1 λ?a+1

.

=（λ-a）

.

λ?a 1 1 λ?a?+1

.

-

.

0 λ?a ?1 1

.

＝(λ?a)[(λ?a)(λ?a+1)?1]?[0+(λ?a)] ＝(λ?a)[(λ?a)(λ?a+1)?2] ＝(λ?a)[λ2?2aλ+λ+a2?a?2] ＝(λ?a){[aλ+ 1 2 (1?2a)]2? 9 4 } ＝(λ?a)(λ?a+2)(λ?a?1)

∴求得：λ₁=a，λ₂=a-2，λ₃=a+1．

（Ⅱ）
若规范形为：

y

2 1

+

y

2 2

，说明有两个特征值为正，一个为0．
则：
（1）若λ₁=a=0，则 λ₂=-2＜0，λ₃=1，不符题意，
（2）若λ₂=0，即a=2，则λ₁=2＞0，λ₃=3＞0，符合，
（3）若λ₃=0，即a=-1，则λ₁=-1＜0，λ₂=-3＜0，不符题意，
综上所述，故a=2．