Question

设函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）．（Ⅰ）若p=2，当x∈[-4，-2]时，f（x）≥0恒成立，求q的取值范围；（

设函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）．（Ⅰ）若p=2，当x∈[-4，-2]时，f（x）≥0恒成立，求q的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．

Answer 1

（Ⅰ）p=2时，f（x）=x²+2x+q；
∴x∈[-4，-2]时，x²+2x+q≥0恒成立，即q≥-x²-2x恒成立；
函数-x²-2x的对称轴是x=-1，∴该函数在[-4，-2]上单调递增；
∴x=-2时，-x²-2x取最大值0；
∴q≥0；
∴q的取值范围为[0，+∞）；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须满足：

?2≤f(1)≤2 ?2≤f(5)≤2

，即

?2≤1+p+q≤2 ?2≤25+5p+q≤2

       （1）；
∴

?2≤?1?p?q≤2 ① ?2≤25+5p+q≤2 ②

；
①+②得：-7≤p≤-5，

5

2

≤?

p

2

≤

7

2

；
∴函数f（x）的对称轴在区间[1，5]上；
∴p，q还需满足f（?

p

2

）≥-2，即

4q?p2

4

≥?2，即q≥

p2

4

?2；
∴该不等式结合（1）可得到p，q需满足的不等式组为：

?2≤1+p+q≤2 ?2≤25+5p+q≤2 q≥ p2 4 ?2

；
解该不等式组可得p=-6，带入不等式组得q=7；
∴满足条件的实数对（p，q）只有一对（-6，7）．