Question

设f(x)是定义在（-a,a)上的函数（a>0),证明f(x)总可以表示为偶函数和奇函数的和

设f(x)是定义在（-a,a)上的函数（a>0),证明
f(x)+f(-x)是偶函数
f(x)-f(-x)是奇函数
f(x)总可以表示为偶函数和奇函数的和

请各位大大能写出步骤 谢谢~

Answer 1

设g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴g(x)是偶函数

即f(x)+f(-x)是偶函数

设t(x)=f(x)-f(-x)
t(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-t(x)
∴t(x)是奇函数

即f(x)-f(-x)是奇函数

设f(x)表示为一个偶函数h(x)与一个奇函数l(x)之和
　　即f(x)=h(x)+l(x) (1)
　　f(-x)=h(-x)+l(-x)
　　h(-x)=h(x),l(-x) =-l(x)
　　f(-x)=h(x)-l(x) (2)
　　(1)+(2)得，h(x)=[f(x)+f(-x)]/2是偶函数
　　(1)-(2)得，l(x)=[f(x)-f(-x)]/2是奇函数
　　所以f(x)表示为一个偶函数h(x)=[f(x)+f(-x)]/2与一个奇函数l(x)=[f(x)-f(-x)]/2之和