已知函数f(x)=ex+1/e^x.若对所有x≦0都有f(x)≥ax+1,求a的取值范围 10
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f(x)=ex+1/e^x.
对所有x≦0都有f(x)≥ax+1，①
x=0时①成立，
x<0时a>=(ex+1/e^x-1)/x,记为g(x),
g'(x)=[x(e-1/e^x)-ex-1/e^x+1]/x^2
=[1-(x+1)/e^x]/x^2
=(e^x-x-1)/(x^2*e^x),
设h(x)=e^x-x-1,h'(x)=e^x-1<0,h(x)是减函数，h(x)>h(0)=0,
所以g'(x)>0,g(x)是增函数，
g(x)<g(0-)→e-1/e^x→e-1,
所以a>=e-1,为所求.
对所有x≦0都有f(x)≥ax+1，①
x=0时①成立，
x<0时a>=(ex+1/e^x-1)/x,记为g(x),
g'(x)=[x(e-1/e^x)-ex-1/e^x+1]/x^2
=[1-(x+1)/e^x]/x^2
=(e^x-x-1)/(x^2*e^x),
设h(x)=e^x-x-1,h'(x)=e^x-1<0,h(x)是减函数，h(x)>h(0)=0,
所以g'(x)>0,g(x)是增函数，
g(x)<g(0-)→e-1/e^x→e-1,
所以a>=e-1,为所求.
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