Question

设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+α3，α2+α3，α3也线性无关。

设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+α3，α2+α3，α3也线性无关。

Answer 1

A=（α1，α2，α3）
B=（α1+α3，α2+α3，α3）
则B=AK
K=
1 0 0
0 1 0
1 1 1
｜K｜=1，所以K可逆，从而A与B的秩相等
因为α1，α2，α3线性无关，所以A的秩为3
从而B的秩也为3，从而α1+α3，α2+α3，α3线性无关，

Answer 2

反证法；
假设α1+α3，α2+α3，α3线性相关，则有k1*(α1+α3)+k2*(α2+α3)+k3*a3=0,整理一下，k1*a1+k2*a2+(k1+k2+k3)*a3=0,说明a1,a2,a3,线性相关，与前提矛盾，所以假设错误，即向量组α1+α3，α2+α3，α3也线性无关。