Question

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）＞0恒成立；（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

Answer 1

（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分） ∵x＜0时，0＜f（x）＜1， ∴f（-1）＞0…（3分） ∴f（0）=1…（5分） （2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1 ∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x） 得 f(x)= 1 f(-x) ＞0 …（7分） 故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分） （3）设x 1 ，x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ， 则x 1 -x 2 ＜0，∴0＜f（x 1 -x 2 ）＜1…（10分） ∴f（x 1 ）=f[（x 1 -x 2 ）+x 2 ]=f（x 1 -x 2 ）f（x 2 ）＜f（x 2 ）…（12分） ∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）