Question

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为 个单位长度。

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为 个单位长度。 （1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB。①求k的值； ②若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标。（2）若 ，直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值。（图乙供选用）





Answer 1

解：（1）①根据题意得：B的坐标为（0，b）， ∴OA=OB=b， ∴A的坐标为（b，0），代入y=kx+b得k=-1。
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD ∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°， ∴∠OPD=∠OPC= ∠CPD=45°， ∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°， ∴OD=PD= ，OP= ∵P在直线y=-x+4上，设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4， ∵∠PFO=90°，OF 2 +PF 2 =PO 2 ， ∴m 2 + （-m+4） 2 =（ ） 2 ， 解得m=1或3， ∴P的坐标为（1，3）或（3，1）。
（2） 分两种情形， 或 直线 将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°， 如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC= ， 又∵直线 中 ∴直线与x轴交角的正切值为 ，即 ， ∴AC= ，进而可得AO= ，即直线与与x轴交于点（ ，0） 所以直线与y轴交于点（ ，0），所以b的值为 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为- 综合以上得：b的值为 或-