Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx） 2 -2cos 2 x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f

已知函数f（x）=（sinx+cosx） 2 -2cos 2 x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在 [ π 4 ， 3π 4 ] 上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin 2 x+2sinxcosx+cos 2 x-2cos 2 x =1+sin2x-2cos 2 x=sin2x-cos2x= 2 sin（2x- π 4 ） 故函数f（x）的最小正周期为T= 2π 2 =π， 由2kπ- π 2 ≤2x- π 4 ≤2kπ+ π 2 ，可得kπ- π 8 ≤x≤kπ+ 3π 8 ， 故函数的单调递增区间为：[kπ- π 8 ，kπ+ 3π 8 ]，（k∈Z）； （Ⅱ）∵x∈ [ π 4 ， 3π 4 ] ，∴2x∈ [ π 2 ， 3π 2 ] ，∴2x- π 4 ∈ [ π 4 ， 5π 4 ] ， 故sin（2x- π 4 ）∈ [- 2 2 ，1] ，所以 2 sin（2x- π 4 ）∈ [-1， 2 ] ， 故函数f（x）在 [ π 4 ， 3π 4 ] 上的值域为： [-1， 2 ]