Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．求证：（1）DE为⊙O的切线.（2）AB?DF=AC?BF．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可； （2）证△ABD∽△CAD，推出 ，证△FAD∽△FDB，推出 ，即可得出AB：AC=BF：DF． （1）连结DO、DA， ∵AB为⊙O直径， ∴∠CDA=∠BDA=90°， ∵CE=EA， ∴DE=EA， ∴∠1=∠4， ∵OD=OA， ∴∠2=∠3， ∵∠4+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠EDO=90°， ∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°， ∴∠4=∠DBA， ∵∠CDA=∠BDA=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴ ， ∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°， 又∵OD=OB， ∴∠BDO=∠DBO， ∴∠3=∠FDB， ∵∠F=∠F， ∴△FAD∽△FDB， ∴ ， ∴ ， 即AB：AC=BF：DF．