Question

已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间 [0， π 3 ] 上单调递增，在区间 [ π 3 ，

已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间 [0， π 3 ] 上单调递增，在区间 [ π 3 ， 2π 3 ] 上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足 sinB+sinC sinA = 4ω 3 -cosB-cosC cosA ．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知： 2π ω = 4π 3 ，解得 ω= 3 2 …（2分） ∵ sinB+sinC sinA = 2-cosB-cosC cosA ， ∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA， ∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA， ∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分） ∴sinC+sinB=2sinA， ∴b+c=2a…（6分） （Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形， ∴ S OACB = S △OAB + S △ABC = 1 2 OA?OBsinθ+ 3 4 A B 2 …（8分） = sinθ+ 3 4 (O A 2 +O B 2 -2OA?OBcosθ) …（9分） = sinθ- 3 cosθ+ 5 3 4 = 2sin(θ- π 3 )+ 5 3 4 ，…（10分） ∵θ∈（0，π），∴ θ- π 3 ∈(- π 3 ， 2π 3 ) ， 当且仅当 θ- π 3 = π 2 ，即 θ= 5π 6 时取最大值，S OACB 的最大值为 2+ 5 3 4 …（12分）