已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2．（1）求数列{an}的通项
已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设数列{1anan...
已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设数列{1anan+2}的前n项和为Sn，不等式Sn＞13loga（1-a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
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（1）∵a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，
∵an＞0，
∴an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
∴an+1-an=1，又a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）由（1）知an=n，则
=
=
（
-
）．
∴Sn=
+
+
+…+
+
=
[（1-
）+（
-
）+（
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，
∵an＞0，
∴an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
∴an+1-an=1，又a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）由（1）知an=n，则
| 1 |
| anan+2 |
| 1 |
| n(n+2) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2 |
∴Sn=
| 1 |
| a1a3 |
| 1 |
| a2a4 |
| 1 |
| a3a5 |
| 1 |
| an-1an+1 |
| 1 |
| anan+2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
