Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并加以证明．

Answer 1

（1）因为a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*），所以，
当n=2时，2（a₁+a₂）=3a₂，得a₂=2；-------------------------------（2分）
当n=3时，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃，得a₃=3；-------------------------------（4分）
当n=4时，2（a₁+a₂+a₃+a₄）=5a₄，得a₄=4．-------------------------------（6分）
（2）猜想an＝n(n∈N*)．-------------------------------（7分）
由2S_n=（n+1）a_n①，可得2S_n-1=na_n-1（n≥2）②，-------------------------（8分）
①-②，得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，-------------------------------（9分）
所以（n-1）a_n=na_n-1，即

an

n

＝

an?1

n?1

(n≥2)，-------------------------------（10分）
也就是

an

n

＝

an?1

n?1

＝

an?2

n?2

＝…＝

a1

1

＝1，故an＝n(n∈N*)．-------------------（12分）