Question

如图，设AD、BE、CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为______

如图，设AD、BE、CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为______．

Answer 1

解答：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆

∴△AEF∽△ABC

∴，即cos∠BAC=

∴sin∠BAC=

∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6x =．

Answer 2

如图：直角三角形ABE中，FE=3=AB/2，则F必为AB的中点，FC是AB的中垂线

AC=BC=5

直角三角形BFC中，斜边BC=5，BF=3，则FC=4

BE=AB×CF/AC=6×4/5=24/5

Answer 3

∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AF

AC

＝

EF

BC

＝

3

5

，
即cos∠BAC=

3

5

，
∴sin∠BAC=

4

5

，
∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6 ?

4

5

=

24

5

．
故答案为：

24

5

．

Answer 4

∵BE⊥CE、CF⊥BF，∴B、C、F、E共圆，∴∠AEF＝∠ABC，又∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，∴AE/AB＝EF/BC，∴AE/6＝3/5，∴AE＝18/5。
由勾股定理，有：AE^2＋BE^2＝AB^2，∴（18/5）^2＋BE^2＝6^2，
∴BE^2＝（6＋18/5）×（6－18/5）＝（48/5）×（12/5）＝4×（12/5）^2，
∴BE＝2×（12/5）＝24/5。