Question

导数：f(x+y)=f(x)f(y),且f'(o)=1,求f'(x)

f(x+y)=f(x)f(y),且f'(o)=1,求f'(x)
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f'(o)存在，求f'(x)
f(1+x)=af(x),且f'(0)=b,求f'(1)

Answer 1

下面的都默认Δx趋于0

第一个
由于f(x)=f(0)f(x),f(x)不能恒为0（否则1点的导数会0，不会为1）
得到f(0)=1.
那么，f'(x)= lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim ( f(x)f(Δx)-f(x) )/Δx
=f(x)lim (f(Δx)-1)/Δx
=f(x)lim (f(Δx)-f(0))/Δx =f(x)f'(0) =f(x)

所以f'(x)=f(x)

解这个微分方程有得到 y=Ce^x, 考虑f'(0)=1，有C=1
所以f(x)=e^x=f'(x)

后面每一题的思路都是一样的，如果还没有学解微分方程，那么做到上面类似的f'(x)=f(x) 就可以了