Question

高一数学函数测试题：

高一数学函数测试题：定义在R上的函数y=f(x),f(0）不等于0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a,b属于R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)证：f(0)=1；(2)证：对任意的x属于R，恒有f(x)>0；（3）证：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x的二次方）>1,求x的取值范围

Answer 1

(1)令a=b=0，则f(0)=f(a+b)=f(a)f(b)=f(0)·f(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1
(2)x>=0时，已知f(x)>=1>0
任取x<0,则-x>0
由 1=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)，
因f(-x)>0,得f(x)>0
故对任意x∈R，恒有 f(x)>0
(3)任取x1,x2∈R，设x2>x1
f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)
=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)
=f(x1)[f(x2-x1)-1]
因为x2-x1>0,∴f(x2-x1)-1>0,∴f(x2)>f(x1)
这就证明了 f(x)是R上的增函数
(4)因f(x)f(2x-x²)=f(3x-x²)
∴ f(3x-x²)>1
由(3)及f(0)=1知：3x-x²>0,所以x∈(0,3)

Answer 2

1,f(1)=f(0+1)=f(0)f(1)
所以f(0)=1
2，f(X)=f(X/2+X/2)=f(X/2)f(X/2)>=0
设在定义域内存在X1，使得f(X1)=0
则f(0)=f(X1-X1)=f(X1)f(-X1)=0
这与f(0)=1矛盾 故不存在X使得f(X)=0
所以恒有f(X)>0
3，设X1 X2属于R 且X1>X2
f(X1)-f(X2)=f(X1-X2+X2)-f(X2)
=f(x1-x2)f(X2)-f(X2)
f(X2)[f(x1-x2)-1]
因为X1-X2>0 所以 f(X1-X2)>1
所以f(X1)-f(X2)>0
故为增函数
4，因为为增函数 且 f(0)=1
所以f(X)f(2X-X^2)=f(3X-X^2)>1=f(0)
所以有3X-X^2>0
解得 0<X<3

Answer 3

（1)设f(b)不等于0 f(b)=f(0+b)=f(0)*f(b)
所以f(0)=1
(2)因为对于任意x属于R 恒有f(x)>1
设x<0 f(0)=f(-x+x)=f(-x)*f(x)
所以f(x)=1/f(-x) 因为-x>0
所以0<f(x)<1 所以对于任意x属于R
f(x)恒大于0
（3）设x1<x2
所以 x2-x1>0
所以 f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)*f(x2-x1)
所以 f(x2/f(x1)=f(x2-x1)>1
所以 f(x2)>f(x1)
所以 f(x)在R上为增函数
（4）据题意得f(2x-x^2+x)>f(0)
即f(-x^2+3x)>f(0)
因为f(x)在R上为增函数
所以-x^2+3x>0
所以0<x<3

Answer 4

1令a=b=0，则f(0)=f(a+b)=f(a)f(b)=f(0)·f(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1
2x>=0时，已知f(x)>=1>0
任取x<0,则-x>0
由 1=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)，
因f(-x)>0,得f(x)>0
故对任意x∈R，恒有 f(x)>0
3任取x1,x2∈R，设x2>x1
f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)
=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)
=f(x1)[f(x2-x1)-1]
因为x2-x1>0,∴f(x2-x1)-1>0,∴f(x2)>f(x1)
∴ f(x)是R上的增函数
4因f(x)f(2x-x²)=f(3x-x²)
∴ f(3x-x²)>1
由(3)及f(0)=1知：3x-x²>0,所以x∈(0,3)

Answer 5

第(1)f(1)=f(0+1)=f(0)f(1)所以f(0)=1

第二)，f(X)=f(X/2+X/2)=f(X/2)f(X/2)>=0
设在定义域内存在X1，使得f(X1)=0
则f(0)=f(X1-X1)=f(X1)f(-X1)=0
这与f(0)=1矛盾 故不存在X使得f(X)=0
所以恒有f(X)>0
第三(3)，设X1 . X2属于R 且X1>X2
f(X1)-f(X2)=f(X1-X2+X2)-f(X2)
=f(x1-x2)f(X2)-f(X2)
f(X2)[f(x1-x2)-1]
因为X1-X2>0 所以 f(X1-X2)>1
所以f(X1)-f(X2)>0故为增函数

第四(4)因为为增函数 且 f(0)=1
所以f(X)f(2X-X^2)=f(3X-X^2)>1=f(0)
所以有3X-X^2>0
解得 0<X<3
只能帮到这儿了，对不住