Question

普通高中一道函数题！帮忙做一下！谢谢谢谢！

Answer 1

【俊狼猎英】团队为您解答~
1）g(1/x)=1/x+x+(x-1/x)ln(1/x)=g(x)
g'(x)=1-1/x^2+(-1/x^2-1)lnx+1/x^2-1
=-(1+1/x^2)lnx
有惟一零点x=e
g''(e)<0，是极大值
g(x)定义域为R+，极大值即最大值
g(e)=2/e
2）f'(x)=1-1/x^2+a/x=(x^2+ax-1)/x^2
必然有一个正根x0=[-a+√(a^2+4)]/2
f(x0)即最小值，
显然h(a)是连续的，h(0)>0，h(a)显然可以取得负值，因此h(a)有零点
假设h(a0)=0
利用[-a0+√(a0^2+4)]/2=2/[a0+√(a^2+4)]
则有h(-a0)=[a0+√(a0^2^2+4)]/2+2/[a0+√(a0^2+4)]-a0ln[a0+√(a0^2+4)]/2
=2/[-a0+√(a0^2+4)]/2+[-a0+√(a0^2+4)]/2+a0ln[-a0+√(a^2+4)]/2
=h(a0)
题目只要存在性，未要求唯一性，如此即证