Question

设函数f(x)=ln(1+x)-mx(x>0)

(I)若函数f(x)在x=1处有极值,求函数f(x)的单调区间 （2）若f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=ln(1+x)-mx(x>0)求一阶导,有：
f'(x)=1/（1+x）-m
因为函数f(x)在x=1处有极值，所以f'(1)=0解得m=1/2
又x>0，当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在此区间单调递增；
当x>1时，f'(x)<0，f(x)在此区间单调递减；

（2）f'(x)=1/（1+x）-m令为零，解得x=1/m-1（m不等于零）
在x=1/m-1点为极值点，
(0,1/m-1）f'(x)>0，f(x)在此区间单调递增；
（1/m-1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在此区间单调递减；
所以，在极值点1/m-1处，取得最大值，故只需f(1/m-1)=lnm-m（1/m-1）<0解得：m的取值范围：（0，e的1-m次方）。