直线l:y=ax+1与双曲线3x^-y^=1相交于A B两点,是否存在实数a使AB关于直线x-2y=0对称？
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解：将y=ax+1代入方程3x2-y2=1，得
3x2-(ax+1)2=1，整理，
(a2-3)x2+2ax+2=0
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1+x2=-2a/(a2-3)，x1x2=2/(a2-3)
所以，y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2·x1x2+a(x1+x2)+1=1
因为 以AB为直径的圆经过圆点
所以，OA⊥OB，故OA与OB的斜率的乘积为-1.
∴x1x2=-y1y2
即2/(a2-3)=-1，解得
a=±1.
3x2-(ax+1)2=1，整理，
(a2-3)x2+2ax+2=0
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1+x2=-2a/(a2-3)，x1x2=2/(a2-3)
所以，y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2·x1x2+a(x1+x2)+1=1
因为 以AB为直径的圆经过圆点
所以，OA⊥OB，故OA与OB的斜率的乘积为-1.
∴x1x2=-y1y2
即2/(a2-3)=-1，解得
a=±1.
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