Question

已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x

已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a不等于1).求证f(2x)=2f(x)*g(x)

Answer 1

因为f(x)+g(x)=a^x，奇函数f(x),偶函数g(x）；
所以f(-x)+g(-x)=a^（-x）= -f(x)+g(x)=a^（-x）；
所以f(x）=[a^x-a^(-x)]/2;g(x)=[a^x+a^(-x)]/2;
故f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2=2f(x)*g(x)。
解法为先根据奇偶性求出 f(x)、g(x），再求f(2x)和
f(x)+g(x）

Answer 2

奇函数f(x)
f(-x)=-f(x)
偶函数g(x)
g(-x)=g(x)
f(x)+g(x)=a^x 1
f(-x)+g(-x)=a^(-x) --->-f(x)+g(x)=a^(-x) 2
1+2得
2g(x)=a^x+a^(-x)
g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
1-2得
f(x)=[a^x-a^(-x)]/2

f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2

2f(x)*g(x)
=2*[a^x-a^(-x)]/2*[a^x-a^(-x)]/2
=2*[a^2x-a^(-2x)]/4
=[a^2x-a^(-2x)]/2
所以
f(2x)=2f(x)*g(x)

Answer 3

奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x①
以-x代x,得-f(x)+g(x)=a^(-x),②
[①-②]/2,f(x)=[a^x-a^(-x)]/2,
[①+②}/2,g(x)=[a^x+a^(-x)]/2.
∴f(2x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2=2f(x)*g(x)。