Question

高一数学，不等式的证明

1.若a，b，c，d，m，n都是正数，P=根号（ab）+根号（cd），Q=根号（ma+nc）·根号（b/m+d/n），则（ ）
A.P≥Q
B.P≤Q
C.P＞Q
D.P，Q大小不确定

2.若a＞0，b＞0，则下列不等式中成立的是（ ）
A.a+b+（1/根号ab）≥2根号2
B.（a+b）（1/a+1/b）≥4
C.（a^2+b^2）/根号（ab）≥a+b
D.2ab/（a+b）≥根号（ab）
请写一下关键步骤

Answer 1

1。B 2.B
（以下的sqr代表根号）
1.P^2=ab+cd+2sqr(abcd).
Q^2=(ma+nc)(b/m+a/n)=ab+cd+bcn/m+adm/n。因为a,b,c,d,m,n都是正数，所以根据均值不等式，有bcn/m+adm/n>=2sqr(abcd)。所以Q^2>=P^2.有P、Q都是正数得P<=Q。
2.B中，（a+b）（1/a+1/b）=2+a/b+b/a。因为a>0,b>0,所以由均值不等式，得：a/b+b/a>=2sqr[(a/b)(b/a)]=2sqr(1)=2。
所以，（a+b）（1/a+1/b）>=2+2=4。
其他三个选项均可验证，不正确。

Answer 2

B B
1.Q≥P
P^2=ab+cd+2√abcd
Q^2=(ma+nc)(b/m+d/n)=ab+cd+(nbc/m)+(mad/n)
因为(nbc/m)+(mad/n)≥2√[(nbc/m)(mad/n)]=2√abcd
当(nbc/m)=(mad/n)即n√bc=m√ad时取“=”号
所以Q^2≥P^2 又Q>0,P>0
所以Q≥P 且当n√bc=m√ad时取“=”号
2.(a+b)(1/a+1/b)
乘进去得a×1/a+a×1/b+b×1/a+b×1/b=1+a/b+1+b/a≥2+2√(a/b×b/a)=4
注：两题都用到了重要不等式：若a>0,b>0，则a+b≥2√ab