Question

证明：设f（x）在[0,1]上连续，且0<=f（x ）<=1,则在[0,1]上至少存在一点c,使f（c）=c

一道高数题，谢谢了
证明：设f（x）在[0,1]上连续，且0<=f（x ）<=1,则在[0,1]上至少存在一点c,使f（c）=c

Answer 1

①如果f（0）=0，则取ξ=0即可．

②如果f（1）=1，则取ξ=1即可．

③如果f（0）≠0，且f（1）≠1，

故由0≤f（x）≤1可得，

f（0）＞0，f（1）＜1．

令g（x）=f（x）-x，

则g（x）在[0，1]上连续，且g（0）＞0，g（1）＜0．

故由连续函数的零点存在定理可得，至少存在一点ξ∈[0，1]，使得g（ξ）=0，即：f（ξ）=ξ。

扩展资料：

如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点。

（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号。

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数。

Answer 2

令F(x)=f(x)-x;
F(0)=f(0)∈[0,1];
F(1)=f(1)-1∈[-1,0];
即
F(0)>=0;F(1)<=0;
根据介值定理，存在c∈[0,1],使得F(c)=0;
即F(c)=f(c)-c=0,即f(c)=c