Question

当a为何值时,关于x的方程lg(ax)=2lg(x+1)有一解?两解?无解?

Answer 1

原式可化为ax=(x+1)²,即x²+（2-a）x+1=0,首先，△<0时无解，得0<a<4,△=0时，得a=0(舍，ax不等于0）或a=4,此时解得x=1，满足题意，当△>0时，即a>4或a<0时，则比较麻烦，需要分类，首先解方程得
x1=(a-2+√(a²-4a))/2 ①,
x2=(a-2-√(a²-4a))/2 ②,
当a<0时，需要-1<x<0,由-1<x1<0恒成立,由-1<x2<0无解，所以当a<0时方程有一解x1,
当a>4时，需要x>0,由x1+x2=a-2>0,x1*x2=1>0,所以a>4时有两解。
综上，0<a<4时无解，a<0或a=4时一解，a>4时两解。
好复杂的道题啊……