Question

高一的数学问题

设x，y，z为非负实数，且满足方程4^√（5x+9y+4z） - 68*2^√（5x+9y+4z） + 256=0，那么x+y+z的最大值和最小值的乘积等于？
过程，谢谢！

Answer 1

【2^√（5x+9y+4z）】^2 - 68*2^√（5x+9y+4z） + 256=0
解得2^√（5x+9y+4z）=64或4
即5x+9y+4z=36或4
5x+9y+4z=36时，4（x+y+z）=36-x-5y
x+y+z=9-x/4-5y/4,因为y，z为非负数，当y,z=0时x+y+z有最大值9
同理由5x+9y+4z=4得x+y+z有最小值4/9
故最大值和最小值乘积等于4

Answer 2

上面的式子可以设√5x+9y+4z为未知数a
上面的式子可以写成2^2a-2×34a+1156=900
解出a=64
所以5x+9y+4z=6
最大值为X,Y=0 z=1.5
最小值为X,Z=0 y=3/2
最大值最小值乘积为1

Answer 3

设u=2^√（5x+9y+4z），（明显：u≥1）；
则方程变为：u^2-68u+256=0，解得u=4或u=64；
(1)u=4时，5x+9y+4z=4，要使x+y+z最小，只能x=0,y=4/9,z=0,因此x+y+z最小值是4/9；
(2)u=64时，5x+9y+4z=36，要使x+y+z最大，只能x=0,y=0,z=9,因此x+y+z最大值是9；
所以，最小值与最大值乘积是：4