Question

求通解，齐次方程的通解会求，不会求非齐次的特解，比如这个题我设它的特解为y*=x(ax+b)e^-

求通解，齐次方程的通解会求，不会求非齐次的特解，比如这个题我设它的特解为y*=x(ax+b)e^-x,还是设y*=3x(ax+b)e^-x，好多人都说设出来之后往原式里带，但是原式里有y''和y'我是需要求出来y*''和y*'之后再带入吗？如果是这样的话计算量也太大了吧？

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Answer 1

首先,我不知道这个方程是几阶的.想必应该是二阶的吧!将三个特解两两相减就可以得到该线性齐次微分方程的通解.然后,取其中的两个,在每一个之前乘上一个任意常数,相加后再加上一个三个特解中的任意一个.行了.

追问

二阶的，怎么会有三个特解呢？它的特解不是设出来特定的形式然后再求出来的吗？

我搞不懂的是设它的特解的形式的时候是设成y*=x(ax+b)e^-x,还是设y*=3x(ax+b)e^-x

原式里有y''和y'我要求出来y*''和y*'之后带入原式吗？

追答

二阶非齐次微分方程有三个特解，y1,y2,y3这个要具体方程；给你一个思路，先观察，找二阶齐次微分方程的通解，在加上一个特解就ok；

追问

估计是我没有表达清楚，我能求出来齐次的通解，但是不会求非齐次的特解！

追答

非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解（为简捷,可令自由变量全为0）
4、按解的结构 ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系） 写出通解.
注意：当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况,此时的特解往往比较繁.
【分析】
按照非齐次线性方程组的求解方法一步一步来解答
对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形
1 -1 1 -1 1
0 0 -2 2 -1
0 0 0 0 0
r（A）=2,基础解系的解向量有4-2=2个
令x2=1,x4=0,得x1=1,x3=0
令x2=0,x4=1,得x1=0,x3=1
得到基础解系a1=（1,1,0,0）T a2=（0,0,1,1）T
再求方程组的一个特解
令x2=x4=0,得x1=1/2,x3=1/2 ξ=（1/2,0,1/2,0）T
所以通解为 ξ+k1a1+k2a2,k1,k2为任意常数
newmanhero 2015年1月18日11:33:17
希望对你有所帮助,