Question

初三最难数学题

如图，已知点A是半圆的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆的半径为1，求AP+BP的最小值.

Answer 1

如图，MN为AA'的中垂线，所以AD=A'D

AD+BD=A'D+BD

当BDA'在同一条直线上时，AD+BD=A'D+BD最小

根据几何条件得，最小值为根号2 

哦，我误把P打成D了，将就着看吧，再改图麻烦

Answer 2

1.国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分。今有8名选手进行单循环比赛，每两人均赛一局。比赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，发现第4名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和。问前三名选手各得多少分？说明理由。

解答：设第I名运动员得分为AI，得分为A1>A2>A3>A4>A5>A6>A7>A8
由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，所以AI<或=7 每人于其余7人比赛，共比赛7X8/2 =28局，总积分为28分。
所以A1+A2+.....A8=28
因为每局得分为0 1/2 1 3种 所以A1—A8只能在0，1/2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 中取直。 又知A4=4 A2=A5+A6+A7+A8
若A3>或=5.5则A2》=6 A1》=6.5 于是A1+A2+A3》=6.5+6+5.5=18
由（1） A4+A5+A6+A7+A8《=10 但A4=4.5
所以A5+A6+A7+A8〈=`10-4.5=5.5
与A2〉=6矛盾 古A3〈5.5
这样A1+A2+....A8=28-5-4.5=18.5
所以A1+2A2=18.5
若A2=5.5 则A1=18.5-11=7.5〉=A1 不可能。
若A2》=6.5 A1=18.5-2A2《=18.5-13=5.5〈A2 矛盾 所以A2=6
于是前三名选手得分一次为6.5 6 5

2.X的8次方+X的7次方+1 分解因式

解法:
X的8次方+X的7次方+1
=X的8次方+X的7次方+X的6次方+X的5次方+X的4次方+X的3次方+X的2次方+X+1-X的6次方-X的5次方-X的4次方-X的3次方-X的2次方-X

=X的6次方(X的2次方+X+1)+X的3次方(X的2次方+X+1)+(X的2次方+X+1)-X的4次方(X的2次方+X+1)-X(X的2次方+X+1)

=(X的6次方-X的4次方+X的3次方-X+1)(X的2次方+X+1)

3.在等腰直角三角形ABC的斜边上取异于B C的两点 E F 使 角EAF =45度
求证 把EF BE CF做边围成的三角形是直角三角形
证明：由A作垂线交BC于H。

设角BAE=y，设BH=AH=CH=1。则
EH = tan(45-y) = (1-tan(y))/(1+tan(y))
HF = tan(y)
EF = EH + HF = (1-tan(y))/(1+tan(y)) + tan(y)
BE = 1-EH= 2tan(y)/(1+tan(y))
CF = 1-tan(y)

可以代如x = tan(y)简化式子得
EF = x + (1-x)/(1+x)
BE = 2x/(1+x)
CF = 1-x

然后平方，简化，最后可得
CF^2+BE^2 = EF^2
--> 这三条线段可做成直角三角形。

4.
〉1.甲容器有15%的盐水30升,乙容器有18%的盐水20升,如果两个容器中各加等量的水,使它们的浓度相等,那么加入的水是多少?
〉2.某项工程,如果甲单独做,正好在规定的时间完成;如果乙单独做,则比规定的日期要多3天才完工,现在甲乙两队合作2天后,再由乙队单独做,正好在规定的日期完工,问规定是多少天?
〉3.一水池有甲 乙两个进水管,同时打开甲 乙两管4小时后,关闭乙管,甲管又用了6个小时把水池注吗.以知甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同.求单独开放甲乙两管分别要几小时可把空水池注满?

1、 设应加入x升水。
（1）求甲乙容器的含盐量
（2）各加入x升水后浓度相等
30*15%/（30+x）=20*18%/(20+x)

2、 设规定时间为x，把总工作量看成1。则甲每天做1/x的工作，
乙每天做 1/(x+3)
甲乙合作2天完成的工作为 2*1/x + 2*1/(x+3)
甲乙合作2天后剩余的工作 1-[2*1/x + 2*1/（x+3）]
由乙单独做剩余的工作需要的天数 = 剩余日工作量/乙每天的工作量
=[1-[2*1/x + 2*1/（x+3）]]/[1/(x+3)]
规定的天数=甲乙合作的天数 + 乙单独做剩余的工作需要的天数

即 x=2+ [1-[2*1/x + 2*1/（x+3）]]/[1/(x+3)]
3、设水池总水量为1，甲需x小时注满水池，乙需y小时。则甲每小时注水1/x，乙每小时注1/y.
4/x +4/y + 6/x =1 方程1（同时打开甲 乙两管4小时后,关闭乙管,甲管又用了6个小时把水池注满）
2.5*1/x = 2*1/y 方程2 （甲管开2小时30分和乙管开2小时的注水量相同）

Answer 3

如图所示

Answer 4

在圆上取一点B',点B'和点B关于直径MN对称,连线AB'和OB',
很明显,当P点在AB'连线上时,AP+BP的值最小,且等于AB'的长度(因为其他位置时。A、F、B'三点都可以构成一个三角形,两边之和大于第三边),

在三角形AOB'中,由题意可知,<AOF为60度,<BOF和FOB'相等且为30度,那么<AOB'为90度,AO=OB'=r=1,那么AB'=根号2=1.414
即为AP+BP的最小值

你的题和图不一致,图中E点应该为N点.