Question

高一对数题

设x，y，z∈R*，且3^x=4^y=6^z。
求证：1/z-1/x=1/2y

Answer 1

设3^x=4^y=6^z=k
那么xlg3=ylg4=zlg6=lgk
x=lgk/lg3
y=lgk/lg4
z=lgk/lg6
1/z-1/x=lg6/lgk-lg3/lgk=(lg6-lg3)/lgk=lg2/lgk
1/(2y)=lg4/(2lgk)=2lg2/(2lgk)=lg2/lgk
所以有:1/z-1/x=1/(2y)

Answer 2

设3^x=4^y=6^z=k
取对数，则 x=log(3)k,y=log(4)k,z=log(6)k
1/x=log(k)3,1/2y=log(k)2,1/z=log(k)6
所以1/x+1/2y=1/z
即 1/z-1/x=1/2y