Question

设a，b属于R，且a不等于2，若定义在区间（-b，b）内的函数f(x）=lg（（1+ax）/（1+2x））是奇函数，则a+b

设a，b属于R，且a不等于2，若定义在区间（-b，b）内的函数f(x）=lg（（1+ax）/（1+2x））是奇函数，则a+b的取值范围

Answer 1

奇函数:f(-x)=lg[(1-ax)/(1-2x)]=lg(1-ax)-lg(1-2x)=-f(x)=-lg(1+ax)+lg(1+2x),
所以lg(1-ax)+lg(1+ax)=lg(1+2x)+lg(1-2x),
所以1-(ax)^2=1-4x^2.
所以a=±2,而由已知,a≠2,所以a=-2,
而(1-2x)/(1+2x)>0,所以(1-4x^2)/(1+2x)^2>0,所以-1/2<x<1/2,所以0<b≤1/2,所以-2<a+b≤-3/2.

Answer 2

首先由于f(x)为奇函数，所以对任意x均有f(x)=-f(-x)，代入得
(1+ax)/(1+2x)=(1-2x)/(1-ax)
上式恒成立，解得a=2(舍)或者a=-2
然后考虑f(x)的定义域，有
（1）1+2x不等于0==>x不等于1/2
（2）(1-2x)/(1+2x)>0==>-1/2<x<1/2
所以，-1/2<=b<=1/2
-5/2<=a+b<=-3/2