Question

设f(x)和g(x)都为奇函数，H（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值5，则H（x）在-∞，0）上的最小

设f(x)和g(x)都为奇函数，H（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值5，则H（x）在-∞，0）上的最小值为多少？

Answer 1

f(x)和g(x)都为奇函数,则
f(x)=-f(-x)；g(x)=-g(-x)

令K(x)=H(x)-2=af（x）+bg（x）,则
-K(-x)=-[af（-x）+bg（-x）])=-af（-x）-bg（-x）=af（x）+bg（x）=K(x)

也就是说K(x)关于原点对称，其为奇函数。而H（x）在（0，+∞）上有最大值5，则K(x)在（0，+∞）上有最大值5-2=3，其在（-∞，0）有最小值-3。

故H(x)=K(x)+2在区间（-∞，0）上有最小值-3+2=-1。

Answer 2

f(x),g(x)都是奇函数，
H（-x）=af（-x）+bg（-x）+2=-af(x)-bg(x)-2+4=-H(x)+4
H(-x)+H(x)=4，为定值，当H(x)取到最大值时，H(-x)取到最小值。
H(-x)min=4-5=-1

则H（x）在-∞，0）上的最小值为-1。

Answer 3

H（x）=af（x）+bg（x）+2
H'(x) = af'(x) + bg'(x)

let x=x0 , H'(x0)=0, x0>0

H(-x) = af(-x) + bg(-x) +2
= -af(x) - bg(x) + 2

-H'(-x) = -af'(x) - bg'(x)
= -(af'(x)+b'g(x))
put x=x0
-H'(-x0) = -(af'(x0)+b'g(x0)) =0
=> at x =-x0 H(x) is min

H(-x0) = -af(x0) - bg(x0) + 2
= -(af(x0)+bg(x0)+2) +4
= -5 +4
= -1 #