定积分证明题。
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证明：设x=π-t，则dx=-dt，
∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt，
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。
又，∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx，对后一个积分再设x=π-t，有∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sint)dt，∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx。
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)2∫(0,π/2)f(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。故，等式成立。
供参考。
∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt，
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。
又，∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx，对后一个积分再设x=π-t，有∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sint)dt，∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx。
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)2∫(0,π/2)f(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。故，等式成立。
供参考。
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