Question

如图，在三角形ABC中，角ABC的平分线相交于点E.延长AE，交三角形ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE. 悬赏

如图，在三角形ABC中，角BAC与角ABC的平分线相交于点E.延长AE，交三角形ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE.
已知角BDA=60度.（1）求证：三角形BDE是等边三角形；（2）若角BDC=120度，猜想四边

Answer 1

(1)∠BDA=∠BCA=60°（同弧圆周角）

因为，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E

所以，∠BAE+∠ABE=∠EBC+∠EAC=60°

所以，∠BED=∠BAE+∠ABE=60°

所以，△BDE是等边三角形

(2)若∠BDC=120°，四边形BDCE是菱形

因为，∠BDC=120°、AD为∠BAC的角平分线

所以，∠BDE=∠EDC=60°

引用(1)的结论，可知，△BDE和△CDE均是等边三角形

所以，四边形BDCE是菱形

Answer 2

（1）证明：
因为AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠DAC
又因为∠DAC=∠DBC （同弧所对圆周角相等)
设： ∠BAD=∠DAC=∠DBC = x
∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD = 120°-∠BAD
∠ABC=∠ABD-∠DBC=120°-∠BAD-∠DBC=120°-2x
∠ABE=∠EBC=0.5×∠ABC = 60°-x
∠EBD=∠EBC+∠DBC = 60°-x+x = 60°
∠BED= ∠BAD+∠ABE = x+60°-x = 60°
所以∠BDA=∠BED=∠EBD = 60°
所以三角形BDE是等边三角形
（2）猜想：E点将变成圆心，对角线BC⊥AD，∠ABD = ∠ACD = 90°,AB = AC,BD = CD
证明：圆内接四边形对角和为180° 和 ∠BDA= 60°可证明∠ABD = ∠ACD = 90°，其他的用三角形相似、三角形全等证明。

Answer 3

解：（1）因为∠A=60°，∠ABC=50°，
所以∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°．
∠ACD=∠A+∠ABC=110°．
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠EBC=∠ABC=25°，∠ACE=∠ACD=55°．
所以∠E=180°-∠EBC-∠ACE-∠ACB
=180°-25°-55°-70°=30°．
（2）因为∠A=70°，∠ABC=60°，
所以∠ACB=180°-∠A-∠ABC=50°．
∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°．
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠EBC=∠ABC=30°，∠ACE=∠ACD=75°．
所以∠E=180°-∠EBC-∠ACE-∠ACB
=180°-30°-50°-75°=35°．
同理可得∠E=35°．
（3）猜测∠A=2∠E，下面说明理由：
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠ABE=∠ABC，∠ECB=∠ACD．
因为∠A+∠ABE+∠AFB=∠E+∠ECF+∠EFC=180°，
又因为∠AFB=∠EFC，
所以∠A+∠ABE=∠E+∠ECF．
因为∠ECD=∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+∠ABE．
所以∠A+∠ABE=∠E+∠A+∠ABE．
所以∠E=2∠A．

Answer 4

1