Question

n趋于无穷时，(ntan(1/n))^n^2的极限=多少？思路？

Answer 1

(ntan(1/n))^n^2的极限为e^(1/3)。

解题思路如下：

根据泰勒公式有：tanx=x+1/3*(x^3)+o(x^3)；

所以，tan(1/n)=1/n+1/3*((1/n)^3)+o((1/n)^3)；

所以，ntan(1/n)=1+1/(3*n^2)；

根据题意有：n趋向无穷时，1/n趋向于0；

所以，n趋向无穷时，1+1/(3*n^2)趋向于1，

底趋向于1，指数趋向于无穷，则：

lim[log{[ntan(1/n)]^(n^2)}]

=n^2*log[1+1/n^2/3]

=n^2*1/n^2/3=1/3

lim[log{[ntan(1/n)]^(n^2)}]=1/3

lim[ntan(1/n)]^(n^2)]=e^(1/3)

即(ntan(1/n))^n^2的极限为e^(1/3)。

扩展资料：

函数求极限的方法

1、利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可），如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值即可。

2、利用无穷小的性质求函数的极限，有以下性质：

性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小；

性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小。

3、利用洛必达法则求函数的极限，对于未定式“ 0/0”型，“ 0/0”型的极限计算，洛必达法则是比较简单快捷的方法。

Answer 2

先利用归结原则,把求数列极限转化成求函数极限
[xtan(1/x)]^x²
这是1^∞型,用洛必达法则也可以,等价无穷小替换也可以.

追问

等价无穷小怎么替换？

这个怎么回事？

追答

对tanx进行泰勒展开得到tanx=x+x³/3+o(x³),把x换成1/x就是上面的式子.
另外那个人解法是错的,数列不能用洛必达法则和泰勒展开.

追问

不用泰勒级数可以吗，我们现在还没学

追答

那你就等价替换啊

Answer 3

应该是这样

Answer 4

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问