如何证明导数连续 可导

 我来答
教育小百科达人
2019-02-23 · TA获得超过156万个赞
知道大有可为答主
回答量:8828
采纳率:99%
帮助的人:479万
展开全部

连续:左右极限存在且相等且等于在该点的函数值。

可导:函数在该点连续,左导数等于右导数。

用反证法。

设lim (x趋于a) f'(x) = L,就是要证 L = f'(a),那么我们先假设L > f'(a)。

取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a),根据函数极限的定义,对于

epsilon = (L-f'(a))/2 > 0,存在一个x的邻域 delta(x),使得在这个邻域内的任意一个x,都有,

| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。

如果f是在x0处可导的函数,则f一定在x0处连续,特别地,任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上,存在一个在其定义域上处处连续函数,但处处不可导。

扩展资料:

关于函数的可导导数和连续的关系:

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。

参考资料来源:百度百科——可导函数

雪音淼
高粉答主

推荐于2019-08-13 · 关注我不会让你失望
知道答主
回答量:37
采纳率:100%
帮助的人:1.5万
展开全部

用反证法。

设lim (x趋于a) f'(x) = L,就是要证 L = f'(a),那么我们先假设L > f'(a)。

取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a),根据函数极限的定义,对于

epsilon = (L-f'(a))/2 > 0,存在一个x的邻域 delta(x),使得在这个邻域内的任意一个x,都有,

| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。

然后考虑在a点导数的定义:

lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a),

由于当x趋于a时, c也是趋于a的,所以最终,c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了,对于固定的一个区间,只要c充分接近a,就一定会进入到这个区间),到那个时候,就总是有

f'(c) > L',这样一来,当c趋于a时,由于函数极限的保号性,就有

f'(a) >= L' > f'(a),这显然是一个矛盾。

扩展资料:

关于函数的可导导数和连续的关系:

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限(左右极限都存在)。连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次。

函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然,如果函数在区间内存在“折点”,(如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

参考资料:百度百科-可导

本回答被网友采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
凡尘回忆
推荐于2018-03-10
知道答主
回答量:8
采纳率:0%
帮助的人:2.7万
展开全部
连续:左右极限存在且相等且等于在该点的函数值
可导:函数在该点连续,左导数等于右导数
本回答被网友采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
收起 更多回答(1)
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式