Question

函数 f（x)满足，对任意函数的X1， X2∈R 且X1≠X2，都满足f(x1)-f(x2)/x1-x2＞0，是否存在实数k,

使得不等式f(k-sinx)≥f(k²-sin²k)对任意x∈R都成立？说明理由

Answer 1

应该是f(k-sinx)≥f(k²-sin²x)吧？
假设存在,若(k-sinx)=(k²-sin²x)，不等式显然成立.
若(k-sinx)≠(k²-sin²x）：
f(k-sinx)-f(k²-sin²x)
=（f(k-sinx)-f(k²-sin²x)）/（(k-sinx)-(k²-sin²x)）
*（(k-sinx)-(k²-sin²x)）;
而（f(k-sinx)-f(k²-sin²x)）/（(k-sinx)-(k²-sin²x)）>0;
因此只需(k-sinx)-(k²-sin²x)>=0…………（1）
令sinx=t,（1）等价于:k-k^2>=t-t^2对于-1<=t<=1恒成立.
故应有k-k^2>=Max{t-t^2}(-1<=t<=1)=1/4;
解之,k=1/2;
经验证,k=1/2为所求。