Question

用洛必达法则求lim x→0 tanx-x /(x²sinx)的极限

lim x→0 secx/x²-1/xsinx (无穷小代换）
=lim x→0 1/x²(secx-1） （洛必达法则）
=lim x→0 secxtanx/2x
=lim x→0 cosx/2
=1/2

lim x→0 secx/x²-1/xsinx (无穷小代换）
=lim x→0 1/x²-lim x→0 1/x²
=0

lim x→0 tanx-x /x²*x (无穷小代换）
=lim x→0 cosx-1/3x²
=lim x→0 -sinx/6x
=lim x→0 -cosx/6
=-1/6
分别错在哪

Answer 1

三种解法都错在：不能用无穷小代换!
举例说吧：lim x→0 x =0 ， lim x→0 x² =0 , lim x→0 x^3 =0
但：lim x→0 (x+x²)/x^3 =lim x→0 (x+x²)/x 吗？
正解是lim x→0 tanx-x /(x²sinx)=lim x→0 sec^2 x-1 /(2xsinx+x²cosx)
= lim x→0 (1-cos^2 x)/(2xsinx+x²cosx)cos^2 x
∵ lim x→0 (1-cos^2 x)/(2xsinx+x²cosx)
=lim x→0 2cosxsinx/(2sinx +4xcosx -x²sinx)
=lim x→0 2cos2x/(6cosx-6xsinx-x²cosx)
=lim x→0 2cos2x/6cosx=1/3
又 lim x→0 1/cos^2 x=1
∴ lim x→0 tanx-x /(x²sinx)=1/3

Answer 2

三个都是一样
不能用无穷小代换后的量做加减，可以做乘除