Question

★★★高一函数题★★★

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，且当x＜0时，f(x)＞1；（1）求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x)为减函数；（3）当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

Answer 1

(1)
令a=b=x/2
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]^2
非零函数f(x)
所以f(x)>0
(2)
令a=x1-x2 b=x2 且x1<x2
f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)*f(x2)
f(x1)=f(x1-x2)*f(x2)
[x1-x2<0 f(x1-x2)>1
且f(x1)>0 f(x2)>0]
f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
即得当x1<x2 f(x1)>f(x2)
所以f(x)为减函数
(3)
f(4)=f(2)*f(2) f(2)>0
所以f(2)=1/4
f(x-3)*f(5-x^2)<=1/4
f(x-3+5-x^2)<=f(2)
[f(x)为减函数]
x-3+5-x^2>=2
x^2-x<=0
0<=x<=1

Answer 2

（1）求证：f(x)＞0；
f(x)=f(x/2)+f(x/2)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)>=0
f(x)≠0
f(x)>0

（2）求证：f(x)为减函数；
u<v
f(u)-f(v)
=f(v+(u-v))-f(v)
=f(v)f(u-v)-f(v)
=f(v)[f(u-v)-1]
f(v)>0,
u-v<0,f(u-v)>1, f(u-v)-1>0
f(u)-f(v)>0
f(u)>f(v)
（3）当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)•f(5-x^2)≤1/4
f(4)=1/16
f(4)=f(2+2)=f^2(2)=1/16
f(2)=1/4
f(x-3)•f(5-x^2)≤1/4
f(x-3+5-x^2) ≤f(2)
f(x)为减函数
-x^2+x+2≥2
x^2-x≤0
0≤x≤1

Answer 3

1.由题，f（0）=f（0）*f（0）解得f（0）=1
f（0）=1=f（a）*f（-a），f（a）=1/f（-a）
当x小于0时，有f（x）大于1.
设当x大于0时，-x小于0，f（-x）大于1，又因为f（-x）=1/f（x）
所以f（x）大于0，小于1。
综上：x=R时，f（x）大于0恒成立

2.设x1小于x2，代入方程：f（x1）-f（x2）=[f(x1)/f(x1)]-[f(x2)/f(x1)]
得到1-f(x2)/f(x1)=1-f(x2)*f(-x1)=1-f(x2-x1),又因为x2-x1大于0
所以解得：1-f(x2-x1)大于0.
所以f（x1）大于f（x2）
f（x）为减函数

3.f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4 因为f（4）=f（2)*f(2)=1/16，所以f（2）=1/4
可化为=f（-x^2+x+2)≤f（2）
有上一问可得：f（x)为减函数。所以-x^2+x+2大于等于2.
解得：x属于[0,1]

Answer 4

(1)f(x+0)=f(x)*f(0)
f(0)=1
f(0)=f(x)*f(-x)=1
当x<0,f(x)>1 所以当x>0,0<f(x)<1
综上，f(x)>0
(2)△x>0,f(a+△x)-f(a)=f(a)[f(△x)-1]
因为△x>0.f(△x)<1
所以f(△x)-1<0,f(a+△x)-f(a)<0
所以为减函数
(3)f(2)=1/4
即f(x-3+5-x^2)<=1/4
即x-3+5-x^2>=2
0<=x<=1